x = QAR ˆ calcola il seguente limite: lim 0 x 180 con x 90 OA r = = cos x cos x lim = lim = lim = 0 2 r sen 2 AP = 2sen sen 2 r sen 2 sen x x

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1 Problma Sia P un punto di un arco AB di una smicirconfrnza di cntro O raggio r. Sia T il punto in cui la smirtta OP incontra la tangnt in A all arco. Porr AOT ˆ PT AP P A AT P A AT AOT ˆ Limitazioni gomtrich pr P A 0 pr P B con 90 Considro il triangolo OAT rtto in A con OAr AT OA tg r tg OT OA r cos cos PT OT OP r cos r r cos cos f ( ) r( cos ) cos cos r tg sn PT cos cos 0 AT sn sn P A 0 0 Considro la corda AP ch sottnd l angolo alla circonfrnza ch è la mtà dll angolo al cntro, quindi val. Pr il torma dlla corda AP r sn r sn sn g( ) r tg tg Problma sn sn AP cos AT tg sn P A 0 0 Data la smicirconfrnza di cntro O diamtro AB r, sia AC una sua corda di lunghzza AC r. Considra un punto P su AB traccia da P la smirtta s prpndicolar ad AC. Dtti Q d R i punti in cui s intrsca, rispttivamnt, AC la smicirconfrnza posto PQ QAR ˆ calcola il sgunt it: P A QR AC r l angolo alla circonfrnza corrispondnt alla corda val 60 Il triangolo ABC è rtto in C prché inscritto in una smicirconfrnza QAR ˆ itazioni gomtrich 0 60 Considro il triangolo AQP rtto in Q QP AP sn0 AP AQ AP cos0 AP Considro il triangolo AQR rtto in Q AP f ( ) tg AP tg QR AQ tg AP tg PQ QR tg P A 60

2 Disgna il grafico probabil dlla funzion y ln, succssivamnt, ricava il grafico di y f ( ). C.E. > < > D ; ( ; + ) 0 Zri 0 y ln ln 0 y 0 A( ;0) Non ci sono intrszioni con l ass y prché 0 C. E. Sgno y > ln > 0 > > > 0 > 0 > 0 I.P. < > Limiti asintoti 9 + ln ln ln ln ;,9 y ln asintoto orizzontal Intrszioni con l asintoto orizzontal y ln ln ln y ln ( ) impossibil ln ln ln ln 0 asintoto vrtical sinistro ln ln ln ln ( + ) + 0 asintoto vrtical dstro yf() y f()

3 Disgna il grafico probabil dlla funzion y, succssivamnt, ricava il grafico di y f ( ) +. C.E ( ) ( ] [ ) D ; ; ; + Zri y 0 + y 0 y 0 y 0 A( ;0) B(;0) Non ci sono intrszioni con l ass y prché 0 C. E. Sgno y > 0 > Limiti asintoti 6 asintoto vrtical + 0 y as. orizzontal pr + + y as. orizzontal pr + Intrszioni con gli asintoti orizzontali 0 < > y + 0 impossibil y < > y D( ;) y accttabil + yf() y f()

4 + sn Calcola il sgunt it giustificando i passaggi d indicando il it notvol usato. 0 + sn + sn sn 0 sn + 5 sn + it notvol 0 sn 0 + Calcola il sgunt it giustificando i passaggi d indicando il it notvol usato Cambio di variabil + t t pr + t t + ( t ) 8t t t 8 t t t In altrnativa, si può svolgr così: it notvol Infatti, calcolando sparatamnt il it dl numrator qullo dl dnominator, si ha: 6t + + t t 6 avndo posto t t pr + t t + + a + pr Data la funzion f ( ) a pr < + trova il valor di a pr il qual f ( ) è continua in. Disgna il grafico satto dlla funzion ottnuta.

5 ( a + ) f ( ) + a a + a a a a pr f ( ) pr > + iprbol parabola a pr Data la funzion f ( ) pr > dtrmina il paramtro imponndo ch f ( ) sia continua in Disgna il grafico satto dlla funzion ottnuta. ( a ) f () a a a parabola iprbol + f ( ) pr > pr Calcola gli asintoti dlla sgunt funzion f ( ) C.E. 0 0; D ;0 0; ; + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 discontinuità di III spci prché sist il it ma non sist il valor dlla funzion nl punto 0. Non c è asintoto. 8 asintoto vrtical. 0 non ci sono asintoti orizzontali, ci può ssr l asintoto obliquo 5

6 m ( ) + q ( ) Asintoto obliquo y +. Calcola gli asintoti dlla sgunt funzion f ( ) 8 C.E. 8 0 ; ; D asintoto vrtical. + 8 non ci sono asintoti orizzontali, ci può ssr l asintoto obliquo 8 + m ( 8 ) q + 0 Asintoto obliquo y ( ) Classifica l discontinuità dll sgunti funzioni sgunti + g ( ) C.E scompongo in fattori: + ( + ) ( ) ( ) discontinuità di III spci prchè sist il it ma non sist il valor dlla funzion + 0 discontinuità di II spci prchè i iti sono 6

7 pr g( ) ( ) pr < discontinuità di I spci con salto + I spci, prché i iti dstro sinistro sono finiti ma divrsi tra loro 0 II spci, prché il it dstro è infinito Enuncia il torma di sistnza dgli zri. Vrifica s valgono l ipotsi dl torma pr la funzion sgunt nll intrvallo y ln in ; indicato [ ] Enunciato: Una funzion continua in un intrvallo chiuso itato ch assuma valori di sgno opposto ngli strmi ammtt almno uno zro nll intrvallo considrato. C.E. 0 < qundi la funzion è continua nll intrvallo [;], prché [ ] L intrvallo [ ; ] è chiuso itato. ; C. E. Calcolo i valori ngli strmi: f () ln > 0 f () ln ln ; 0, 09 < 0 Il torma val, quindi la funzion si annulla almno una volta nll intrvallo considrato.